Matemática e História Mundial

Schaaf, William L. Mathematics and World History. The Mathematics Teacher, Vol. 23, No. 8 (DECEMBER 1930), pp. 496-503. DOI: 10.2307/27951289


Uma interpretação sugestiva, senão única, da história da matemática é a proposta por Oswald Spengler no primeiro volume de seu Decline of the West, no capítulo intitulado “O Significado dos Números”.  Esta explicação, que pode ser chamada de interpretação morfológica, baseia-se na tese de que toda cultura notável é (ou era) uma estrutura orgânica; como tal, cada cultura tem sua própria matemática, que é uma caracterização morfológica e distintiva dessa cultura. Consequentemente, o chamado crescimento da matemática ao longo dos tempos não tem sido um processo contínuo e homogêneo de desenvolvimento cumulativo. Além disso, a “matemática” particular de qualquer cultura é inerentemente uma parte necessária dessa cultura, uma expressão de seu ser no mundo, assim como sua literatura, música, arte e moralidade também são uma parte intrínseca dessa cultura. Em resumo, a matemática de uma cultura é a culminação da expressão simbólica da alma e do espírito dessa cultura.

A seguinte citação apresenta a afirmação de Spengler de forma sucinta. Ele diz: “Se a matemática fosse apenas uma ciência como a química ou a astronomia, seria simples definir o seu objeto. Mas nós sabemos que não é assim. Em suma, não há uma matemática, apenas várias matemáticas. A chamada história da matemática, implica na atualização progressiva de um único ideal invariável é, na realidade, abaixo da superfície enganosa da história, um complexo de desenvolvimentos independentes e autossuficientes — um processo que sempre se repete em dar à luz novos formas do mundo, com o processo concomitante de apropriação e transformação de formas estranhas. Em outras palavras, é o processo orgânico típico de florescimento, amadurecimento, murchamento e morte dentro de um determinado período. Não devemos nos deixar enganar. A matemática da alma ocidental, embora possua a alma clássica externamente, tinha que conquistar sua própria autorrealização alterando e aperfeiçoando aparentemente, mas na realidade, destruindo o sistema euclidiano”.

A MATEMÁTICA CLÁSSICA

A característica marcante da matemática grega é a convicção de que o número é a essência de todas as coisas perceptíveis aos sentidos. O espírito da coisa era o de medir o imediato aqui e agora. A perspectiva do homem clássico em geral estava confinada ao presente sensivelmente perceptível. As características dominantes de uma estátua nua são suas dimensões, suas superfícies e a relação sensorial das partes.

O mesmo acontece com a noção de espaço. A concepção clássica era de considerar a matemática como uma expressão de magnitude e forma por meio do número. O número era para a mente antiga um “símbolo óptico” em vez da descrição de uma relação abstrata. Fundamentalmente, era simplesmente estereometria, onde os números eram meramente unidades de comprimentos ou superfícies ou volumes, e nenhuma outra extensão era concebível. Assim, para Euclides, um triângulo é a fronteira de um corpo fixo e rígido, nunca um sistema de três linhas variáveis ​​que se cruzam ou um grupo de três pontos removíveis e relacionados. E de novo, para Euclides uma “linha é um comprimento sem largura”; para nós tal declaração não é definição alguma, mas na matemática clássica era brilhante. Em resumo, o número clássico é um processo de pensamento que não lida com relações espaciais, mas com entidades visivelmente limitadas, tangíveis e concretas.

Por isso, não é surpreendente que os gregos se preocupassem principalmente com números naturais. O espírito grego não conseguia avaliar o significado do número irracional, o decimal sem fim de nossa notação atual. O próprio Euclides declarou que “linhas incomensuráveis ​​não se relacionam entre si como os números”. Aqui, de acordo com Spengler, estava um medo muito real; o “inaudível e sem forma deve ser deixado para sempre oculto”. Era o mesmo tipo de medo que impedia os gregos de se expandirem politicamente, confinando-se em sua maior parte aos portões de suas próprias cidades; de entrar ousadamente em caminhos desconhecidos no Mar Mediterrâneo, e de mergulhar na astronomia babilônica — um medo metafísico de que o mundo compreendido pelos sentidos do presente pudesse se precipitar em um abismo primitivo desconhecido de escuridão. Todo produto da mente clássica tinha a ver com número. O que não podia ser mostrado não era número. Os gregos usavam termos equivalentes a “número de superfície” e “número de volume” para a 2ª e a 3ª potências. Portanto, potências superiores eram muito irreais para eles, e expressões como x2/3 ou x1/2 não teriam sentido e, de fato, bastante impensáveis. Da mesma forma, zero não foi considerado um número, uma vez que não poderia ser mostrado.

Quando a matemática no século 17 foi “revivida”, não houve um renascimento concomitante da mentalidade grega. A filosofia é muito sensível às diferenças no estado de espírito e na cultura de uma era. A nossa mente — a mente do mundo ocidental moderno — é muito diferentemente constituída em comparação com a mente clássica. Embora possamos produzir uma réplica fiel de uma estátua antiga, não podemos da mesma forma produzir um estado de espírito antigo. Podemos entender o passado, mas há um profundo contraste entre as reações modernas e as antigas aos mesmos estímulos. Portanto, aparentemente, há pouca justificativa para considerar a matemática clássica como um “estágio” inicial no desenvolvimento da matemática moderna. Para os antigos, sua matemática era completa: para nós, está incompleta. Além disso, a matemática moderna, embora verdadeira para nós, e completa no que nos diz respeito, é para nós uma criação magistral do espírito ocidental; no entanto, para Platão, teria parecido sem sentido, ou até mesmo ridículo, já que estaria em total desacordo com a verdade como ele a concebia.

A MATEMÁTICA DOS MAGOS

É geralmente dito que Diofanto estendeu os limites da aritmética clássica. O que ele realmente fez foi criar não apenas um novo simbolismo, mas uma álgebra inteiramente nova. Falando propriamente, Diofanto não pertence aos matemáticos clássicos de modo algum. Ele é o porta-voz de um novo sentimento numérico que transcendeu o sentimento helênico dos limites sensivelmente presentes que produziram a geometria euclidiana, a estátua nua e a moeda.

Os detalhes das origens desta nova matemática não são bem conhecidos. Em geral, existe a presunção de influência indiana. Diofanto viveu por volta do ano 250 d.C. (o terceiro século da cultura árabe), e a influência da cultura persa e árabe é claramente vista no seu trabalho. Nenhum grego, por exemplo, teria declarado qualquer coisa sobre um número indefinido a ou um número seis sem denominação — pois estes não são nem magnitudes nem linhas. Diofanto concebeu e usou um novo sentimento de número, um que é diferente do sentimento clássico intencionado. Assim, Diofanto não estendeu a noção de número como magnitude — ele o eliminou, e assim, sem querer, derrubou o significado clássico de número, suplantando-o por um novo espírito numérico que Spengler designa de “Mago”.

Os primórdios da cultura mágica ou árabe, que são um tanto obscurecidos pelos últimos vestígios da decadente civilização clássica, com toda chance esteve germinando no Oriente desde a época de Augusto nas regiões entre a Armênia e o sul da Arábia. O fato de as cidades de Alexandria e de Antioquia ainda escreverem em grego é acidental e não tem mais importância do que o fato de que o latim foi a linguagem científica do mundo ocidental até o início do século XVIII.

Com o número de Diofanto não era mais representada a medida e a essência das coisas estáticas e imóveis. Embora ele não reconhecesse o zero e o negativo, ele não considerava mais os números no sentido pitagórico antigo. Por outro lado, a indeterminação árabe-persa do número era algo muito diferente da variabilidade sistemática de números que apareceu mais tarde na matemática ocidental e que na verdade é o início do conceito de função. Por enquanto a matemática dos “magos” é um tanto vaga em detalhes, mas a tendência é clara o suficiente. Diofanto não era de fato seu criador — a tendência começou antes de seu tempo, e culminou no século IX com al-Khowarizmi e outros. Sua importância reside no fato de que, segundo o que se sabe, ele foi o primeiro matemático em quem o novo sentimento numérico foi presente de modo inconfundível.

A MATEMÁTICA OCIDENTAL

À luz do que já foi exposto, vamos reconsiderar a contribuição de Descartes em 1637. Evidentemente, não foi a introdução de um novo método ou conceito no campo da geometria tradicional, ou seja, o sistema rígido de coordenadas cartesianas — isso já havia sido usado e compreendido por Oresme. Descartes não melhorou nem estendeu a noção de coordenadas — em vez disso, ele superou esse conceito semi-euclidiano introduzindo uma ideia de número inteiramente nova, a de um ponto sendo um grupo de números puros coordenados. A substituição de comprimentos por posições carrega consigo uma concepção de extensão puramente abstrata e espacial, em vez de material. Definindo um ponto como uma variedade de números é o começo da análise — e esta é a contribuição de Descartes para o nascimento da matemática ocidental.

Como uma ilustração notável da aniquilação da geometria “ótica” de extensões que havia sido herdada, considere a noção de funções angulares. Na matemática indiana, esses eram números no sentido inicial; mas com o início da matemática ocidental eles passam a ser funções periódicas e, portanto, por meio de análise, em série infinita, onde não resta o menor vestígio da imagem euclidiana original. Considere, por exemplo, expressões como  ou , nas quais ninguém pensa em desenhar diagramas ou em calcular as potências numericamente. Lembramos da história que preocupava a Benjamin Peirce, que, durante uma de suas palestras, tendo deduzido a relação , voltou-se para sua classe e disse: “Senhores: isso é certamente verdadeiro; é absolutamente paradoxal, não podemos entender isso, e não sabemos o que significa; mas nós provamos isso, e portanto, sabemos que deve ser a verdade”!

Em outras palavras, como Spengler aponta, o conceito clássico de número como magnitude pura foi definitivamente suplantado pelo conceito do número como relação pura. Assim, a tônica da cultura ocidental é o conceito de função, uma noção nem mesmo remotamente sugerida por qualquer cultura anterior. E o conceito de função é tudo menos uma extensão ou elaboração de conceitos numéricos anteriores — é uma emancipação completa de tais noções. Para citar Spengler uma vez mais: “Em toda a história, não há um segundo exemplo de uma cultura que preste contas a outra cultura, há muito tempo extinta, tamanha reverência e submissão em matéria de ciência como a nossa presta à cultura clássica. Isso aconteceu muito antes de encontrarmos a coragem para pensar de modo adequado. Mas embora o desejo de emular o clássico estivesse constantemente presente, toda etapa dessa tentativa nos afastou ainda mais do ideal imaginado. A história do conhecimento ocidental é, portanto, de emancipação progressiva do pensamento clássico, uma emancipação nunca desejada, mas forçada nas profundezas do inconsciente. E assim o desenvolvimento da nova matemática consiste numa longa, secreta e vitoriosa batalha contra a noção de magnitude”.

Para o matemático clássico, o espírito orientador foi sempre o de ordenação dos princípios em termos do presente visível, o mensurável e o numerável. Para o matemático do Ocidente, cujo símbolo é do espaço imperceptível e ilimitado, o princípio orientador é um espírito gótico desenfreado, abrangente e com sentimento de forma. Originalmente, a geometria significava a arte de medir; a aritmética, a arte da numeração. A matemática moderna há muito tempo deixou de lidar com qualquer uma delas como tal, embora ainda não tenha encontrado um novo nome para suas próprias entidades — pois a palavra análise é irremediavelmente inadequada. O que entendemos por esse termo abrange uma série de conceitos, a noção de um universo de espaço infinito, um conceito que simplesmente não existia para o homem clássico —, nem mesmo é capaz de ser apresentado a ele.

Várias distinções marcantes entre as matemáticas clássica e a ocidental são listadas abaixo em resumo:

CONTRASTES SIGNIFICATIVOS

Matemática Clássica Matemática Ocidental
1. Aceita só aquilo que possa ser visto e está ao alcance; onde a visão física em definitivo deixasse de acontecer, então a matemática e a lógica também deixava. 1. Abandona as raízes clássicas e se torna absorvida em variações multidimensionais de espaço, gerando diagramas e assessórios adicionais.
2. Se concentra em considerar o que é pequeno, e tem como obstáculo o princípio do limite do visível; por isso, a impossibilidade de conceber uma geometria não-euclidiana. 2. Concentra seu interesse na consideração do infinito e do “ultravisional”, incluindo o infinitamente grande assim como o infinitamente pequeno.
3. Concebe enquanto limite como uma quantidade infinitamente pequena, ainda que fixada ou estática (Euclides). 3. Concebe o limite inferior de toda magnitude finita; um resíduo menor do que qualquer outra quantidade previamente estabelecida, não importando seu tamanho (Cauchy).
4. Interessada primariamente em magnitude e, portanto, em proporções; toda proporção assume a constância de seus elementos. Estátuas e pinturas admitiriam reduções ou aumentos de escala. 4. Interessada primariamente em relacionamentos e, portanto, em funções; toda transformação implica na variação dos seus elementos. As transformações estão relacionadas às teorias modernas de composição musical, mas aumentos ou reduções de escala aqui nada significam.
5. Interessada principalmente em casos particulares e exemplos individuais, isto é, uma figura singularmente vista, uma construção “de uma vez por todas”. Construções geométricas contém as aparências. 5. Interessada principalmente em generalizações, operações que não lidam só com figuras fixas e visíveis; como grupos de relações, curvas infinitas, transformações, etc. Há mais interesse no processo do que o resultado. As operações negam as aparências.
6. Dá uma expressão artística a sua consciência através dos meios materiais do bronze e do mármore, aonde a figura humana, seja ela de um gladiador ou de um dançarino, tenha uma forma fixa na qual o contorno, superfície e textura são mais expressas e eficazes. 6. Manifesta seu sentimento artístico em música sem forma, onde a harmonia e a polifonia trazem sentimentos de um “além” infinito não-visível; ou numa tela de pintura colorida, onde a luz e a tonalidade por si mesmas contêm o esboço.

A eliminação dessa escravidão da geometria ao visual e da álgebra à noção de magnitude, significou a substituição do conceito de função. Significou substituir formas estáticas e concretas por relações espaciais dinâmicas e abstratas. Os elementos do espaço se tornaram um grupo de números, ou seja, imagens do ponto, linha, plano, etc. Percepção espiritual em vez de realidade sensual — este é o espírito do Ocidente. O ponto culminante deste espírito pode ser encontrado na teoria moderna de grupos; grupos são imagens matemáticas, como a totalidade de equações diferenciais de um certo tipo, várias transformações, e similares. O espírito faustiano foi cumprido com o aparecimento da matemática ocidental. Cada uma dessas duas gigantescas estruturas culturais surgiu de um conceito de número totalmente novo — no caso, o de Pitágoras, e no outro caso, o de Descartes. Cada um deles floresceu por 300 ou 400 anos, e então completaram a estrutura de suas ideias no mesmo momento em que as respectivas culturas a que pertenciam passaram para a fase de civilização megalopolitana.

O que falta à matemática ocidental é o processo de preservar, selecionar e refinar — no lugar das grandes criações dinâmicas, o mesmo tipo de “trabalho detalhado inteligente, sutil e paciente que caracterizou a matemática alexandrina do helenismo tardio”.

CONCLUSÃO

Muitos dos críticos de Spengler, e que não são poucos, argumentam que ele começa com uma tese ou ponto de vista definido, do qual ele é já convencido e, portanto, seleciona apenas esses dados históricos para apoiar mais sua afirmação, omitindo cuidadosamente qualquer alusão a tais evidências que entrariam em conflito com ela. Seja como for; mas é certo que muito pode ser dito sobre esta reinterpretação da história da matemática.

Se o leitor sentir que a interpretação de Spengler, embora talvez interessante, não obstante representa apenas a opinião de um historiador, ele pode estar interessado no seguinte extrato da obra de J.W. N. Sullivan, Aspects of Science (First Series), no capítulo intitulado “Matemática como Arte”:

“O significado da matemática é precisamente que ela é uma arte — ela nos informa sobre a natureza de nossas próprias mentes. Ela não nos permite explorar alguma região remota do eternamente existente; em vez disso, ajuda a nos mostrar quão forte aquilo que exista depende do modo como nós existimos. Somos os legisladores do universo — é até possível que não possamos experimentar nada além do que criamos, e que a maior de nossas criações materiais é o próprio universo material”.

“De acordo com a concepção clássica, a geometria era considerada uma necessidade do pensamento. Mais do que isso, era considerada a geometria necessária de qualquer espaço. No entanto, o recente desenvolvimento da geometria não-euclidiana e sua aplicação a fenômenos físicos com Einstein nos mostrou que a geometria euclidiana não é apenas só uma necessidade do pensamento, mas que ela não é nem mesmo a geometria mais conveniente para aplicar ao espaço existente”.

“Assim, o matemático moderno, tendo escolhido seus postulados, é livre para imaginar aquilo que deseja; ele constrói seus próprios mundos de fantasia e desejo, limitados apenas pela imaginação. Portanto, ele não está descobrindo leis fundamentais do Universo, nem está se tornando familiarizado com Deus. Se ele encontrar um conjunto perceptivo de entidades que segue o mesmo esquema lógico de sua matemática, ele teria aplicado matemática para o mundo externo. Mas por que o mundo externo deveria obedecer às leis da lógica — por que, de fato, a ciência deveria ser possível, ainda é uma pergunta difícil de responder. Existem tendências nas teorias mais modernas da física que levam alguns cientistas a duvidar se, afinal de contas, o universo é racional.

“Assim, voltamos a uma espécie de perspectiva pitagórica invertida. A matemática tem um significado profundo no universo, não porque exibe princípios aos quais obedecemos, mas porque exibe princípios que nós impusemos. Mostra-nos as leis do nosso próprio ser e as condições necessárias para a experiência. Em suma, nós entendemos a Natureza tão bem porque nós mesmos a projetamos”.

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