Teorema de Bayes: Uma Proposta para o Ensino Médio

[EM CONSTRUÇÃO]

Projeto de Dissertação de Mestrado a ser apresentado à Universidade Federal de São Paulo.

Orientador: Prof. Dr. Renato de Sá Teles

Diadema

2020


Dentro da Base Nacional Comum Curricular (BNCC), a respeito da área da Matemática a ser trabalhada no Ensino Médio, propõe-se “a consolidação, a ampliação e o aprofundamento das aprendizagens essenciais (…), a fim de possibilitar que os estudantes construam uma visão mais integrada da Matemática, ainda na perspectiva de sua aplicação à realidade” [ref. BNCC, p.527]. A expressão “aplicação à realidade” sugere um aspecto por vezes esquecido da Matemática, que é sua capacidade de descrever realidades objetivas através de linguagem simbólica, linguagem essa que exige bons níveis de abstração por parte dos estudantes para sua compreensão apropriada. Também, essa “aplicação à realidade” é aparentemente posta em prática na descrição da primeira das Competências Específicas da Matemática e Suas Tecnologias para o Ensino Médio do mesmo documento:

Utilizar estratégias, conceitos e procedimentos matemáticos para interpretar situações em diversos contextos, sejam atividades cotidianas, sejam fatos das Ciências da Natureza e Humanas, das questões socioeconômicas ou tecnológicas, divulgados por diferentes meios, de modo a contribuir para uma formação geral. [ref. BNCC, p.531]

Essa competência, segundo a mesma BNCC, prevê que os estudantes sejam capazes, por exemplo, “de analisar criticamente o que é produzido e divulgado nos meios de comunicação” [ref. BNCC, p.532]. Levando-se em conta todo o debate sobre fake news dos últimos anos, torna-se ainda mais importante que os estudantes de hoje estejam mais equipados com ferramentas matemáticas que permitam com maior facilidade distinguir informações verdadeiras das falsas, e o desenvolvimento desses estudantes até a plena cidadania não fique comprometido pela falta dessas ferramentas. Tendo em vista essa motivação, no contexto da matemática, é difícil não pensar no uso da Probabilidade e da Estatística como ferramentas de análise crítica, dada sua aplicabilidade quase universal nas ciências. Entendendo a necessidade adicional de formar os estudantes para serem não apenas cidadãos, mas futuros cientistas, então torna-se ainda mais relevante a importância da obtenção apropriada de dados sobre a realidade — sob inevitáveis limitações de natureza social ou econômica — e também da análise crítica rigorosa sobre esses dados.

A Inferência Estatística, que é entendida como a realização de afirmações sobre um conjunto de elementos considerados representativos de um universo, torna-se assim, a ferramenta matemática por excelência em favor da competência descrita. Chama a atenção um dos itens listados como “Habilidades” a serem desenvolvidas pelos estudantes segundo a organização curricular proposta na BNCC, no quadro da Probabilidade e Estatística:

Identificar situações da vida cotidiana nas quais seja necessário fazer escolhas levando-se em conta os riscos probabilísticos (usar este ou aquele método contraceptivo, optar por um tratamento médico em detrimento de outro, etc). [ref. BNCC, p.546]

Esta habilidade parece ser a decorrência imediata do aprendizado e da aplicação da Inferência Estatística. Dentro dela, considera-se que existem dois maiores paradigmas: o paradigma frequencista e o paradigma bayesiano. Neste trabalho, proponho-me a desenvolver uma proposta de ensino do Teorema de Bayes no currículo do Ensino Médio segundo o paradigma bayesiano, levando-se em conta todas as considerações previamente feitas sobre as conexões quase explícitas deste teorema com as propostas educacionais e curriculares da BNCC.

Junto a essa proposta, quero fazer considerações a respeito das limitações deste teorema, e que precisam ser enfaticamente consideradas no seu ensino. Ao mesmo tempo que o teorema de Bayes representa um marco na história do raciocínio lógico e o primeiro grande triunfo da inferência estatística [ref. SCIENCE], ele pode causar problemas quando houver aplicação indevida, assim como toda fórmula aprendida na Matemática, mas com um motivação especial: dada a possibilidade da sua aplicação quase universal nas ciências, o conhecimento prévio das probabilidades envolvidas precisa ser garantido para que haja menor margem de erro no cálculo final da probabilidade desejada. Isto é significativo, quando o conhecimento envolvido esteja relacionado a alguma decisão de impacto público. O estudantes de ensino médio precisam conhecer tais limitações do teorema em conexão com as outras ciências, levando-se em conta que sua educação matemática de hoje terá profundas implicações nas suas decisões pessoais no âmbito social.

Descrição Matemática do Teorema de Bayes

Considerando que \(p(A) \) e \(p(B) \) como as probabilidades dos eventos A e B, ambos realizados no espaço amostral (que é o universo de possibilidades), então vamos denotar por \(p(A|B) \) a probabilidade do evento A dado que o evento B já tenha acontecido (ou seja, o evento B é o novo universo de possibilidades), e também denotamos por \(p(B|A) \) a probabilidade do evento B dado que o evento A já tenha acontecido. Sendo assim, o teorema de Bayes traz a relação entre todas essas probabilidades:

\begin{split}
p(A|B) = {p(A) \times p(B|A) \over p(B)}
\end{split}

Breve História de Thomas Bayes

Assim como é comum na história da matemática dar nomes a fórmulas, teoremas e outros desenvolvimentos homenageando seus inventores ou primeiros descobridores, não foi diferente com o teorema de Bayes, cujo nome vem do reverendo e matemático inglês Thomas Bayes (1701—1761), que se baseou em definições e teoremas da probabilidade condicional no seu ensaio entitulado An Essay towards solving a Problem in the Doctrine of Chances, de 10 de novembro de 1763. Esse ensaio foi editado por Richard Price dois anos após a morte de Bayes, e continha alguns anexos ao original, autorados pelo editor. Prize escreveu a introdução ao ensaio, descrevendo as bases filosóficas sob as quais se assentavam o trabalho de Bayes. O ensaio editado foi direcionado a John Canton, à época membro da Royal Society e receptor dos escritos de Bayes.

Numa tradução literal para o português, o título do ensaio vem como “Um ensaio para resolver um Problema da Doutrina das Chances”. No século XVIII, “Doutrina das Chances” era o nome que se dava ao que hoje chamamos de “Teoria da Probabilidade”. Neste trabalho, Bayes buscou estabelecer um método matemático com probabilidades pré-estabelecidas, e que fizesse uso de evidências presentes, para descobrir outras probabilidades. A pergunta motivadora de Bayes poderia ser formulada do seguinte modo: como podemos descobrir a probabilidade de um evento no futuro, dado que no passado o mesmo evento tenha ocorrido ou não uma quantidade de vezes sob certas condições? De acordo com um artigo da Scientific American, o teorema pode ser descrito numa expressão simplista: crenças iniciais + evidências objetivas recentes = crenças novas e aprimoradas [ref. SCIAM]. Essa expressão sugere uma profunda aplicabilidade desse método para as ciências, e parece ir de acordo com as próprias palavras de Prize logo no início da sua introdução, se direcionando a Canton: “A filosofia experimental, você perceberá, está intimamente interessada no assunto” [BAYES, p.1, tradução livre].

A contar pelos anos em que o reverendo Bayes viveu, entre 1701 e 1761, pode-se afirmar que sua vida foi marcada por um período de tentativas da Inglaterra de se recuperar, após dois séculos de contendas religiosas e guerra civil. A matemática do seu período estava dividida entre linhas religiosa e política. Ele era membro da Igreja Presbiteriana, a qual naquela época estava sob perseguição em função da sua falta de apoio à Igreja Anglicana, igreja oficial da Inglaterra, e como tal, Bayes foi considerado como não-conformista. Muitos matemáticos por conta disso eram barrados em universidades inglesas, e assim continuavam apenas como “amadores”, categoria na qual Bayes se encontrou por boa parte da sua vida, apesar de ter entrado na universidade. Em 1742 ele foi convidado a fazer parte da Royal Society, mas à época ela ainda não tinha o prestígio que hoje possui: ela era uma organização privada que publicava e exibia trabalhos de intelectuais amadores — e que acabaram sendo responsáveis por boa parcela dos maiores avanços científicos da época. Mas, antes de tudo isso, Bayes estudou teologia e matemática na Universidade de Edinburgo, na Escócia, que era presbiteriana. Em 1711 ele foi para Londres onde seu próprio pai, que era sacerdote, o ordenou e o empregou como assistente eclesiástico.

A história intelectual de Bayes oscilou entre a teologia e a matemática. Mais próximo aos seus trinta anos de idade, ele se envolveu numa discussão teológica que questionava se era possível conciliar a presença do mal do mundo e a benevolência de Deus. No seu panfleto publicado em 1731, Bayes declarou que “Deus dava às pessoas a maior felicidade que elas fossem capazes de ter”. Já aos seus quarenta anos, ele se envolveu na discussão da validade do cálculo inventado por Newton. Havia na época uma forte discussão sobre a validade do cálculo, embora isso possa parecer hoje aos nossos olhos um absurdo. Essa discussão talvez tenha sido inflamada por George Berkeley, um bispo anglicano irlandês, que havia publicado um panfleto atacando o cálculo newtoniano e o próprio Isaac Newton, os matemáticos não-conformistas, e todos os outros “livres pensadores” que acreditavam que a razão conseguiria iluminar qualquer assunto. Nesse sentido, Bayes entrou novamente na discussão, defendendo o cálculo de Newton e o explicando, e isso veio a ser a sua única publicação em matemática durante sua vida.

No entanto, Bayes não foi o único a desenvolver o método probabilístico. Uma forma modificada do método foi desenvolvida independentemente por Pierre-Simon Laplace em 1774, que usou continuamente sua fórmula para distinguir hipóteses mais plausíveis das outras à medida que novos dados relevantes eram incorporados às suas ideias. A interpretação bayesiana da probabilidade foi desenvolvida por Laplace, sendo o seu modelo que é mais usado na matemática e na ciência modernas.

(((CONTINUAR AQUI)))

Origem e Justificativa do Teorema de Bayes

O problema das probabilidades inversas estava cristalizado na mente de Bayes, e com isso, ele procurou aprender o máximo possível sobre eventos que ocorreram no passado para, com eles, buscar a chance de eles ocorrerem no futuro. De início, ele concebeu que precisaria de um número, uma “crença inicial”, ou um “chute”, a partir do qual as novas informações sobre o evento tornariam-no mais refinado e preciso. E o processo que Bayes usou para refinar esse número consistiu num experimento mental, de enorme utilidade e que ilustra bem os usos análogos e mais modernos do seu teorema.

O experimento mental de Bayes começava com uma mesa plana e uma bola. A bola que fosse lançada na mesa teria a mesma chance de cair e parar em qualquer ponto da mesa, seja à esquerda ou à direita. Estando de costas para a mesa, ele lança a bola pela primeira vez, e pede a um ajudante que marque na mesa o local onde essa bola parou, para que ele descubra posteriormente sua provável localização. Depois de a marcação ter sido feita, então se inicia o processo de descoberta: o ajudante toma a bola e a lança novamente na mesa, reportando a Bayes se essa bola ficou à esquerda ou à direita da marcação inicial. A partir dessa resposta, Bayes reformula seu chute, imaginando a faixa de posições à esquerda ou à direita da mesa onde aquela marcação inicial teria sido feita. E o processo continua, com o ajudante jogando a bola na mesa, reportando o paradeiro da bola como sendo à esquerda ou à direita da marcação, e a cada informação nova, a faixa de possíveis posições da marcação vai se estreitando, até que em algum momento, torna-se possível afirmar, com algum grau de confiança, qual faixa estreita de posições a marcação inicial foi feita.

Esse sistema de Bayes era simples, conceitualmente falando. A crença ou opinião anterior, e que parece arbitrária (no experimento de Bayes, representa o chute sobre o local possível da marcação), começa a ser refinada com a introdução de dados objetivos (representados no experimento pelas informações dos lançamentos da bola pararem à esquerda ou à direita da marcação). O resultado disso é uma crença ou opinião posterior mais apurada, mais precisa, sobre o paradeiro da marcação. Com mais iterações desse processo, a crença posterior obtida num experimento torna-se a opinião anterior para o próximo experimento. Quanto mais iterações desse experimento, mais certeira e coincidente com a realidade vai ficando a crença posterior. Daí, justifica-se a expressão simplista descrita anteriormente, de que “crenças iniciais + evidências objetivas recentes = crenças novas e aprimoradas”. Tecnicamente falando, a fórmula de Bayes pode ser descrita numa frase: a probabilidade a priori multiplicada pela verossimilhança é proporcional à probabilidade a posteriori.

\begin{split}
p(A|B) = {p(A) \times {p(B|A) \over p(B)}}
\end{split}

Na fórmula acima:

  • \(p(A|B) \) representa a probabilidade a posteriori da proposição \(A \) com respeito à evidência \(B \).
  • \(p(A) \) representa a probabilidade a priori da proposição \(A \).
  • \(p(B|A) \over p(B) \) representa a verossimilhança da evidência \(B \) para a proposição \(A \).

(((CONTINUAR AQUI)))

Bibliografia

[BAYES] Bayes, M., & Price, M. (1763). An Essay towards Solving a Problem in the Doctrine of Chances. By the Late Rev. Mr. Bayes, F. R. S. Communicated by Mr. Price, in a Letter to John Canton, A. M. F. R. S. Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 53(0), 370–418. doi:10.1098/rstl.1763.0053. Acessível em <http://dx.doi.org/10.1098/rstl.1763.0053>, link acessado em 9 de junho de 2020.

[BNCC] Ministério da Educação do Brasil. Base Nacional Comum Curricular. Brasília: MEC, 2018. Acessível em <http://basenacionalcomum.mec.gov.br/images/BNCC_EI_EF_110518_versaofinal_site.pdf>.

[SCIAM] Sharon Bertsch McGrayne. Bayes’ Why Bayes Rules: The History of a Formula That Drives Modern Life. Scientific American, 1 de maio de 2011. Acessível em <https://www.scientificamerican.com/article/why-bayes-rules/>, link acessado em 6 de junho de 2020.

[SCIENCE] Bradley Efron. Bayes’ Theorem in the 21st Century. Science, 7 de junho de 2013. Acessível em <http://dx.doi.org/10.1126/science.1236536>, link acessado em 6 de junho de 2020.